الملخص
المعادلات التفاضلية الحدودية واسعة الاستخدام في مجالات متعدد في الحياة
و في الدراسات العلمية، ولقد عملت دراسات كثيرة بمناقشتها وعرض طرقا
متعددة لحلها و ذاك بشكل خاص لدرجة الثانية منها مع وجود بعض الدراسات و
الطرق التي ناقشت أنواع خاصة بدرجات أعلى من هذه المشكلات. أما في
أطروحتنا هذه فقد قمنا بـِ:
1- دراسة و حل معادلات حدية خطية ذات درجات عليا من الدرجة الثالثة و
حتى السابعة و ذلك بشكلها العام و استخدمنا طريقة الفروق الدقيقة للتوصل
إلى نظام من المعادلات خطية بسيطة.
2- حل النظام بطريقة(LU-decomposition) لتقليل العمليات الحسابية.
3- رفعنا درجة الدقة للطريقة و ذلك من خلال استخدام طريقة
(Richardson's Extrapolation Method) للحصول على نتائج أكثر دقة دون
الحاجة لتقليل طول الفترات الجزئية في المسألة.
4- دراسة معادلة تفاضلية حدية غير خطية خاصة من الدرجة الثامنة و طرق
حلها.
5- تطوير بعض الطرق العددية لتكون قادرة على حل أي معادلة تفاضلية
غير خطية من نفس النوع لأي درجة زوجية أقل من ثمانية و ذلك من خلال تصميم
برنامج حاسبي بلغة (MATLAB 7.0) للتعامل و الحصول على معاملات نظام حل هذه
المعادلات.
و لقد أوضحت الدراسة أن:
- هذه الطريقة المتبعة في البحث تعطي نتائج جيدة.
- الخطأ يزداد عندما تكون درجة المعادلة عالية لاسيما أنها تعتمد
على جميع المشتقات التي تسبقها – فمثلا المعادلة التفاضلية الخامسة تعتمد
على المشتقة الأولى حتى الرابعة – مما يجعل خطأ التقريب متراكما.
- هذه الطريقة تعتمد على القيم الحدية المعطاة فعند غياب القيمة
الحدية الابتدائية لطرفي الفترة يصبح الخطأ أعلى. - نوع القيمة
الحدية المعطاة في المسألة يؤثر على دقة الحل و الخطأ. فيما إما إذا كانت
القيمة الحدية عند مشتقة زوجية، فردية، قريبة أو بعيدة.
- حل درجات عليا من المعادلات التفاضلية بهذه الطريقة يحتاج إلى
معادلات طويلة تزداد بازدياد الدرجة وإلى جهد وحسابات مطولة يصعب عملها
لمرات متكررة إلا باستخدام طرق خاصة على الحاسب.
النص الكامل ...
http://www.najah.edu/modules/graduates/graduates.php?hint=2&id=605&l=ar
